קיץ תשפ"ג 2023, שאלון 35481 · שיעור פתרון

שאלה 2: דלתון במערכת צירים

מציאת משוואת ישר, חישוב מרחקים, ושימוש בתכונות גאומטריות למציאת קואורדינטות של מרובע.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

המרובע ABCD הוא דלתון: BA = BC ו-DA = DC. אלכסוני הדלתון נפגשים בנקודה E. נתון A(-6,3), C(2,-1), הקודקוד B נמצא על ציר y, והקודקוד D ברביע השלישי.

  1. א. (1) מצאו את משוואת האלכסון BD. (2) מצאו את שיעורי B.
  2. ב. שטח הדלתון הוא 80. מצאו את אורך BD והשאירו שורש בתשובה.
  3. ג. מצאו את שיעורי D.
  4. ד. מצאו את משוואת המעגל שמרכזו ב-A והישר BD משיק לו. הסבירו.

זיהוי השיטה

בדלתון, האלכסון המחבר את קודקודי זוגות הצלעות השוות הוא האנך האמצעי לאלכסון האחר. לכן BD מאונך ל-AC ועובר באמצעו. לאחר מכן משתמשים בנוסחת שטח דלתון ובמרחק נקודה מישר.

פתרון מודרך

א משוואת BD והנקודה B

נוסח הסעיף: (1) מצאו את משוואת האלכסון BD. (2) מצאו את שיעורי B.

הרעיון: מוצאים את אמצע AC, הופכים את שיפועו לשיפוע מאונך, ואז מציבים x=0 כי B על ציר y.

E = (-6 + 22, 3 - 12) = (-2,1)
BD חוצה את AC.
mAC = -1 - 32 - (-6) = -12 ⇒ mBD = 2
מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים היא ‎-1.
y - 1 = 2(x + 2) ⇒ y = 2x + 5
משוואת ישר דרך E.
xB = 0 ⇒ yB = 5 ⇒ B(0,5)
נקודה על ציר y.

תוצאת הסעיף: BD: y=2x+5, ו-B(0,5).

ב אורך האלכסון BD

נוסח הסעיף: שטח הדלתון הוא 80. מצאו את אורך BD.

הרעיון: שטח דלתון הוא מחצית מכפלת האלכסונים.

AC = √((2 + 6)² + (-1 - 3)²) = √80 = 4√5
נוסחת מרחק בין שתי נקודות.
80 = AC · BD 2 ⇒ BD = 1604√5 = 8√5
בידוד BD וצמצום השורש.

תוצאת הסעיף: BD=8√5.

ג שיעורי D

נוסח הסעיף: מצאו את שיעורי D.

הרעיון: נקודה על BD נכתבת D(t,2t+5). משתמשים במרחק מ-B ובוחרים את הפתרון שברביע השלישי.

BD = √(t² + (2t)²) = √(5t²) = √5 · |t|
הפרש הקואורדינטות בין B ל-D.
√5 · |t| = 8√5 ⇒ |t|=8
השוואה לאורך שנמצא.
t=-8 ⇒ D(-8, 2(-8)+5)=(-8,-11)
רק t שלילי מציב את D ברביע השלישי.

תוצאת הסעיף: D(-8,-11).

ד המעגל המשיק ל-BD

נוסח הסעיף: מצאו את משוואת המעגל שמרכזו A והישר BD משיק לו.

הרעיון: רדיוס המעגל בנקודת ההשקה מאונך למשיק. לכן המרחק ממרכז המעגל לישר המשיק הוא בדיוק אורך הרדיוס.

#טענהנימוק
1 R ⊥ BD רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. נתון ש-BD משיק למעגל שמרכזו A.
2 אורך הרדיוס הוא המרחק מ-A ל-BD המרחק מנקודה לישר מוגדר כאורך האנך מהנקודה אל הישר.
BD: 2x - y + 5 = 0
צורה כללית של הישר לצורך הצבה בנוסחת מרחק נקודה מישר.
R = |2(-6) - 3 + 5|√(2² + (-1)²) = 10√5 = 2√5
חישוב המרחק מנקודה A(-6,3) אל הישר BD.
(x + 6)² + (y - 3)² = 20
הצבת מרכז A וריבוע הרדיוס (R²=20) במשוואת מעגל.

תוצאת הסעיף: משוואת המעגל היא (x+6)²+(y-3)²=20.

תשובה סופית

  1. א. y=2x+5; B(0,5).
  2. ב. 8√5.
  3. ג. D(-8,-11).
  4. ד. (x+6)²+(y-3)²=20.

המשך במבחן

קיץ תשפ"ג 2023, מועד א', שאלון 35481 (4 יח"ל) · שאלה 2

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 3 - הסתברות