קיץ תשפ"ג 2023, שאלון 35481 · שיעור פתרון

שאלה 8: מינימום של סכום ריבועי השוקיים

חקירת פונקציית מטרה גאומטרית במלבן וטרפז, ושימוש בנגזרת למציאת ערך קיצון מינימלי.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

ABCD הוא טרפז ישר זווית, AB ∥ DC. גובה הטרפז BE חוצה את הבסיס DC. שטח הטרפז הוא 48√2. נסמן AB=x.

הנתון ש-BE חוצה את DC מאפשר לבטא את שני הבסיסים באמצעות x. נוסחת השטח נותנת את הגובה, ומשפט פיתגורס יוצר פונקציית מטרה שאותה ממזערים.

נוסח הסעיף: הביעו באמצעות x את גובה הטרפז.

הרעיון: במלבן ABED מתקבל DE = AB = x, ומכיוון ש-E אמצע DC גם EC = x; לכן DC = x + x.

48√2 = 1.5 · x · h

נוסחת שטח טרפז לאחר הצבת הבסיסים x ו-x+x.

h=32√2x

בידוד הגובה; x>0.

תוצאת הסעיף: h=32√2/x.

נוסח הסעיף: מצאו את x שעבורו AD²+BC² מינימלי.

הרעיון: AD=h ובמשולש BEC מתקיים BC²=h²+x².

F(x)=AD²+BC²=h²+(h²+x²)=2h²+x²

משפט פיתגורס.

F(x)=2(32√2x)²+x²=4096x²+x²

הצבת הגובה.

F'(x)=-8192x³+2x=0 ⇒ x⁴=4096 ⇒ x=8

x חיובי; הנגזרת עוברת משלילית לחיובית.

תוצאת הסעיף: x=8.

נוסח הסעיף: האם ייתכן שסכום ריבועי השוקיים הוא 120?

הרעיון: מחשבים את הערך המינימלי שכבר נמצא.

F(8)=409664+64=128

זהו המינימום לכל x>0.

תוצאת הסעיף: לא. הסכום אינו יכול להיות קטן מ-128.

קיץ תשפ"ג 2023, מועד א', שאלון 35481 (4 יח"ל) · שאלה 8

זהו פתרון השאלה האחרון במבחן.