חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שיעור פתרון

שאלה 6: חקירת פונקציה רציונלית

חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, סיווג נקודות קיצון, שרטוט גרף, וחישוב שטח בעזרת אינטגרל מסוים.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

6. נתונה הפונקצייה: f(x) = 5xx² + 4 + 1.

  1. א. (1) מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x).
    (2) מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקצייה f(x) (אם יש כאלה).
  2. ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x) עם הצירים.
  3. ג. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקצייה f(x), וקבעו את סוגן.
  4. ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה f(x).

נתונה הפונקצייה g(x) = 2 · f(x).

ארבעת הגרפים לבחירה
  1. ה. אחד מן הגרפים I–IV שבסרטוט מתאר את פונקציית הנגזרת g'(x).
    קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.
  2. ו. מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת g'(x), על ידי הישר x=1 ועל ידי הצירים.

זיהוי השיטה

שאלת חקירה קלאסית עם מנה. מכיוון שהמכנה תמיד חיובי, תחום ההגדרה יהיה כל x ולא תהיה אסימפטוטה אנכית. עבור הנגזרת נשתמש בכלל גזירת מנה. בחלק השני מקשרים בינינו לבין פונקציה חדשה g(x) שהיא כפולה של f(x), מה שאומר שהתנהגות הנגזרת שלה זהה מבחינת תחומי חיוביות/שליליות (רק "מתוחה" פי 2). נזהה את הגרף לפי נקודות האיפוס והזוגיות של הנגזרת. השטח המבוקש ייפתר בקלות בעזרת אינטגרל של נגזרת המחזיר את הפונקציה עצמה (המשפט היסודי של החדו"א).

פתרון מודרך

א תחום הגדרה ואסימפטוטות

נוסח הסעיף: מצאו תחום הגדרה ואסימפטוטות מאונכות לצירים.

(1) תחום הגדרה: פונקציה מוגדרת כאשר המכנה אינו מתאפס.

x² + 4 ≠ 0 → x² ≠ -4
דורשים מכנה שונה מאפס.

מכיוון שמספר בריבוע תמיד אי-שלילי, הוא לעולם לא יהיה שווה ל--4. כלומר המכנה לעולם אינו אפס ותחום ההגדרה הוא כל x.

(2) אסימפטוטות מאונכות לצירים:

  • אנכית (מאונכת לציר ה-x): אין, משום שאין נקודות אי-הגדרה.
  • אופקית (מאונכת לציר ה-y): נבדוק את הגבול כאשר x שואף לאינסוף (ולמינוס אינסוף).
    y → 5xx² + 1 → 0 + 1 = 1
    חזקת המכנה (2) גדולה מחזקת המונה (1), ולכן השבר שואף ל-0. נשאר רק הפלוס 1.
    האסימפטוטה האופקית היא y = 1.

תוצאת הסעיף: (1) כל x. (2) אופקית: y = 1. אנכית: אין.

ב נקודות חיתוך עם הצירים

נוסח הסעיף: מצאו נקודות חיתוך עם הצירים.

חיתוך עם ציר y (x=0):

f(0) = 5 · 00² + 4 + 1 = 0 + 1 = 1
הצבת x=0 נותנת את הנקודה (0,1).

חיתוך עם ציר x (y=0):

5xx² + 4 + 1 = 0
השוואת הפונקציה לאפס.
5xx² + 4 = -1
העברת ה-1 לאגף שני.
5x = -(x² + 4) → 5x = -x² - 4
כפל במכנה.
x² + 5x + 4 = 0
סידור כמשוואה ריבועית.

מכאן נקבל לפי טרינום או נוסחת שורשים ש-(x+4)(x+1) = 0, ולכן x = -1 ו-x = -4.

תוצאת הסעיף: (0, 1), (-1, 0), (-4, 0).

ג נקודות קיצון

נוסח הסעיף: מצאו נקודות קיצון וקבעו את סוגן.

נגזור את הפונקציה לפי כלל מנה (ה-1 נגזר לאפס):

f'(x) = 5(x² + 4) - 5x · (2x)(x² + 4)²
נגזרת מונה כפול מכנה, פחות מונה כפול נגזרת מכנה.
f'(x) = 5x² + 20 - 10x²(x² + 4)² = 20 - 5x²(x² + 4)²
כינוס איברים במונה.

נשווה את הנגזרת לאפס למציאת נקודות חשודות:

20 - 5x² = 0 → 5x² = 20 → x² = 4 → x = ±2
מספיק להשוות את המונה לאפס.

נמצא את שיעורי ה-y על ידי הצבה בפונקציה המקורית:

  • f(2) = 104+4 + 1 = 1.25 + 1 = 2.25 (נקודה: 2, 2.25)
  • f(-2) = -104+4 + 1 = -1.25 + 1 = -0.25 (נקודה: -2, -0.25)

נקבע את סוג הקיצון בעזרת טבלת סימנים (נבדוק ערכים בין הנקודות):

x x < -2 -2 -2 < x < 2 2 x > 2
f'(x) -
(למשל x=-3)		 0 +
(למשל x=0)		 0 -
(למשל x=3)
מגמה ↘ יורדת min ↗ עולה max ↘ יורדת

מעבר מירידה לעלייה ב-x = -2 נותן מינימום. מעבר מעלייה לירידה ב-x = 2 נותן מקסימום.

תוצאת הסעיף: מקסימום (2, 2.25) ומינימום (-2, -0.25).

ד סקיצה של הפונקציה

נוסח הסעיף: סרטטו סקיצה של גרף הפונקצייה.

תכונות הגרף המרכזיות:

  • אסימפטוטה אופקית ב-y=1 (לשני הכיוונים).
  • עובר בנקודות החיתוך (0,1), (-1,0), (-4,0).
  • נקודת מינימום ב-(-2, -0.25) ונקודת מקסימום ב-(2, 2.25).

ה זיהוי גרף פונקציית הנגזרת g'(x)

נוסח הסעיף: נתון g(x)=2f(x). איזה מגרפים I-IV מתאר את הנגזרת g'(x)?

הרעיון: הקשר g(x) = 2f(x) אומר ש- g'(x) = 2f'(x). כלומר הנגזרת של g כפולה מהנגזרת של f, אבל שומרת על אותן נקודות איפוס ואותם סימנים!

ראינו בסעיף הקיצון ש-f'(x) חיובית בין מינוס 2 ל-2, ושלילית בשאר התחום. בנוסף, ראינו ש- f'(x) = 20 - 5x²(x² + 4)². זוהי פונקציה זוגית! מכיוון שיש רק x² במשוואתה, מתקיים f'(-x) = f'(x), כלומר הגרף שלה חייב להיות סימטרי לחלוטין ביחס לציר ה-y.

נבחן את הגרפים:

  • גרפים I ו-IV: גרפים אי-זוגיים (אנטי-סימטריים), נפסלים.
  • גרף II: גרף זוגי, אך הוא שלילי במרכז, בעוד שהנגזרת שלנו חיובית במרכז (בין -2 ל-2 הפונקציה המקורית עולה).
  • גרף III: גרף זוגי (סימטרי ציר y), חיובי במרכז, ושלילי בקצוות. מתאים בדיוק לתכונות הנגזרת.

תוצאת הסעיף: גרף III הוא המתאר את פונקציית הנגזרת.

ו חישוב שטח של נגזרת

נוסח הסעיף: מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף הנגזרת g'(x), על ידי x=1 והצירים.

השטח המבוקש נמצא בין x = 0 (ציר ה-y) לבין x = 1. בתחום זה ראינו שהנגזרת חיובית (גרף III מראה זאת בבירור, והפונקציה עולה שם). לכן השטח פשוט מחושב על ידי אינטגרל מסוים של הנגזרת. אינטגרל של נגזרת שווה לפונקציה המקורית.

S = ∫01 g'(x) dx = [g(x)]01
המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.
S = g(1) - g(0)
הצבת הגבולות העליון והתחתון.

נזכור ש- g(x) = 2f(x), לכן נחשב קודם את f(1) ו-f(0) (את f(0) מצאנו בסעיף ב', שווה 1):

f(1) = 5 · 11² + 4 + 1 = 55 + 1 = 1 + 1 = 2
הצבת x=1 בפונקציה המקורית.
g(1) = 2 · 2 = 4
ערך ה-g.
g(0) = 2 · 1 = 2
ערך ה-g באפס.
S = 4 - 2 = 2
התוצאה הסופית לשטח.

תוצאת הסעיף: השטח המוגבל שווה ל-2.

תשובה סופית

  1. א. (1) כל x. (2) y = 1.
  2. ב. (-4, 0), (-1, 0), (0, 1).
  3. ג. מקסימום (2, 2.25) ומינימום (-2, -0.25).
  4. ד. סרטוט כמתואר.
  5. ה. גרף III (מכיוון שפונקציית הנגזרת זוגית וחיובית בסביבת האפס).
  6. ו. 2.

המשך במבחן

חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שאלה 6

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 7 - חדו"א (פונקציית שורש)