חורף תשפ"ג 2023, שאלון 35471 · שיעור פתרון
שאלה 8: קריאת גרף הנגזרת
פענוח תכונות פונקציה מתוך גרף הנגזרת, מציאת תחומי עלייה וירידה וחישוב שטח על ידי אינטגרל הנגזרת.
שיעורי תאוריה רלוונטיים
נוסח השאלה
הפונקציה f(x) ונגזרתה מוגדרות לכל x. נתון גרף f'(x). הנגזרת מתאפסת רק ב-x=-3,0,3. מן הגרף רואים שהיא שלילית לפני -3, חיובית בין -3 ל-3 (ונוגעת בציר ב-0 בלי לשנות סימן), ושלילית אחרי 3.
- א. (1) מצאו תחומי עלייה וירידה של f. (2) מצאו את שיעורי x של נקודות הקיצון וקבעו את סוגן.
- ב. קבעו איזה מן הגרפים I-III מתאר את f ונמקו.
- ג. נתון שגרף f עובר בראשית. S₁ הוא השטח בין הגרף לציר x בתחום -3≤x≤0, ו-S₂ השטח בתחום 0≤x≤3. האם S₁+S₂=∫-33f(x)dx?
- ד. נתונה g(x)=f(x-4). מצאו את שיעורי x של נקודות הקיצון של g וקבעו את סוגן.
זיהוי השיטה
סימן הנגזרת קובע עלייה וירידה. אפס של נגזרת יוצר קיצון רק אם הסימן משתנה. בשטח גאומטרי כל חלק חיובי, ואילו אינטגרל מסוים הוא שטח חתום. ההחלפה x→x-4 מזיזה את הגרף ארבע יחידות ימינה.
פתרון מודרך
א תחומי מונוטוניות וקיצון
נוסח הסעיף: (1) מצאו תחומי עלייה וירידה. (2) מצאו קיצון וסוג.
הרעיון: f עולה כאשר f' חיובית ויורדת כאשר f' שלילית.
| תחום | סימן f' | התנהגות f |
|---|---|---|
| x<-3 | שלילי | יורדת |
| -3<x<0 | חיובי | עולה |
| 0<x<3 | חיובי | עולה |
| x>3 | שלילי | יורדת |
ב-x=-3 הסימן משתנה משלילי לחיובי ולכן יש מינימום. ב-x=3 הסימן משתנה מחיובי לשלילי ולכן יש מקסימום. ב-x=0 אין שינוי סימן, ולכן אין קיצון.
תוצאת הסעיף: ירידה ב-(-∞,-3) וב-(3,∞); עלייה ב-(-3,3). מינימום ב-x=-3 ומקסימום ב-x=3.
ב בחירת גרף f
נוסח הסעיף: איזה מן הגרפים I-III מתאר את f?
הרעיון: מחפשים גרף שיורד למינימום ב--3, עולה דרך נקודה נייחת שאינה קיצון ב-0, מגיע למקסימום ב-3 ואז יורד.
תוצאת הסעיף: גרף III.
ג שטח לעומת אינטגרל חתום
נוסח הסעיף: האם מתקיים S₁+S₂=∫f(x)dx בין -3 ל-3?
הרעיון: מאחר ש-f(0)=0 והפונקציה עולה בכל הקטע (-3,3), היא שלילית משמאל ל-0 וחיובית מימין.
תוצאת הסעיף: לא; האינטגרל שווה -S₁+S₂.
ד הזזה אופקית
נוסח הסעיף: עבור g(x)=f(x-4), מצאו את שיעורי x של נקודות הקיצון וסוגן.
הרעיון: כל נקודה של f זזה ארבע יחידות ימינה, והסוג אינו משתנה.
תוצאת הסעיף: מינימום ב-x=1 ומקסימום ב-x=7.
תשובה סופית
- א. יורדת ב-(-∞,-3) וב-(3,∞), עולה ב-(-3,3); מינימום x=-3, מקסימום x=3.
- ב. III.
- ג. לא; האינטגרל הוא -S₁+S₂.
- ד. מינימום x=1, מקסימום x=7.
המשך במבחן
חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שאלה 8
זהו פתרון השאלה האחרון במבחן.
חזרה לרשימת המבחנים