חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שיעור פתרון

שאלה 3: הסתברות עץ

בניית עץ הסתברויות להוצאה ללא החזרה, חישוב הסתברות מותנית ופתרון משוואה ריבועית בהסתברות.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

3. בקופה יש 36 מטבעות: 18 מטבעות של שני שקלים, 12 מטבעות של חמישה שקלים, ו-6 מטבעות של עשרה שקלים.
הוציאו מן הקופה באקראי שני מטבעות ללא החזרה.

  1. א. מהי ההסתברות ששני המטבעות שהוציאו היו זהים?
  2. ב. ידוע ששני המטבעות שהוציאו היו זהים. מהי ההסתברות שהסכום של שני המטבעות שהוציאו היה גבוה מ-5 שקלים?

החזירו את כל המטבעות לקופה והוסיפו x מטבעות של עשרה שקלים לקופה.
נתון: לאחר ההוספה, ההסתברות להוציא מן הקופה באקראי ללא החזרה שני מטבעות של חמישה שקלים היא 115.

  1. ג. מצאו את x.
  2. ד. האם ההסתברות להוציא מן הקופה באקראי (ללא החזרה) שני מטבעות זהים גדלה לאחר ההוספה, קטנה או נשארה ללא שינוי? נמקו.

זיהוי השיטה

השאלה מבוססת על הוצאה ללא החזרה מתוך קופה, ולכן בכל שלב סך המטבעות וכמות המטבעות מאותו סוג יורדים ב-1. סעיף ב' דורש שימוש בנוסחת ההסתברות המותנית (בייס) שכן "ידוע" שקרה משהו. בסעיף ג' נוסף נעלם, ולכן נבנה משוואה ריבועית כדי למצוא אותו.

פתרון מודרך

א ההסתברות לשני מטבעות זהים

נוסח הסעיף: מהי ההסתברות ששני המטבעות שהוציאו היו זהים?

הרעיון: מחשבים את ההסתברות לכל אחד משלושת סוגי המטבעות להוצאה כפולה (ללא החזרה), ומחברים את ההסתברויות כיוון שאלו מאורעות זרים.

שני מטבעות זהים יכולים להיות אחד מהמקרים הבאים (מאורעות זרים ולכן נחבר את ההסתברויות שלהם): שניהם 2 ש"ח או שניהם 5 ש"ח או שניהם 10 ש"ח. נזכור שאחרי הוצאת מטבע אחד, כמות המטבעות הכללית והפרטית קטנה ב-1.

P(2, 2) = 1836 · 1735 = 3061260 = 1770
הסתברות לשני מטבעות של 2 ש"ח.
P(5, 5) = 1236 · 1135 = 1321260 = 11105
הסתברות לשני מטבעות של 5 ש"ח.
P(10, 10) = 636 · 535 = 301260 = 142
הסתברות לשני מטבעות של 10 ש"ח.
P(זהים) = 1770 + 11105 + 142 = 1335
חיבור ההסתברויות (ניתן להשאיר במכנה 1260 ולחבר הכל ואז לצמצם).

תוצאת הסעיף: ההסתברות לשני מטבעות זהים היא 1335.

ב הסתברות מותנית: סכום גבוה מ-5 בהינתן שהם זהים

נוסח הסעיף: מהי ההסתברות שהסכום היה גבוה מ-5 שקלים בהינתן ששני המטבעות היו זהים?

הרעיון: נשתמש בנוסחת הסתברות מותנית — המכנה הוא ההסתברות למטבעות זהים מסעיף א', והמונה הוא סכום ההסתברויות של הזוגות הזהים שסכומם גדול מ-5.

נשתמש בנוסחת ההסתברות המותנית: P(A|B) = P(A ∩ B)P(B).

  • המכנה P(B): ההסתברות למטבעות זהים היא 1335 (חישבנו בסעיף א').
  • המונה P(A ∩ B): גם מטבעות זהים, וגם הסכום שלהם גדול מ-5. הזוג (2,2) סכומו 4 (לא גדול מ-5). הזוגות (5,5) שסכומו 10 ו-(10,10) שסכומו 20 עונים על הדרישה. לכן נחבר את ההסתברויות שלהם:
P(A ∩ B) = 11105 + 142 = 27210 = 970
סכום ההסתברויות של הזוגות שסכומם מעל 5.
P(>5 | זהים) = 9 / 7013 / 35 = 970 · 3513 = 926
חלוקת המונה במכנה לפי חוקי שברים (כפל בהופכי).

תוצאת הסעיף: ההסתברות המבוקשת היא 926.

ג מציאת x מטבעות חדשים

נוסח הסעיף: הוסיפו x מטבעות של 10 ש"ח לקופה. ההסתברות לשני מטבעות של 5 ש"ח היא 1/15. מצאו את x.

הרעיון: נסמן את מספר המטבעות החדש, נבנה ביטוי להוצאת פעמיים 5 ש"ח (ללא החזרה) מתוך סך המטבעות המעודכן, ונשווה לנתון כדי לפתור משוואה ריבועית.

מספר המטבעות הכללי החדש הוא 36 + x. מספר המטבעות של 5 ש"ח נשאר 12. נבנה את ההסתברות להוציא 5 ואז שוב 5 ללא החזרה מתוך הקופה החדשה:

1236 + x · 1135 + x = 115
ההסתברות החדשה שווה לנתון בשאלה.
132(36 + x)(35 + x) = 115
כפל מונה במונה ומכנה במכנה.
132 · 15 = (36 + x)(35 + x)
כפל בהצלבה.
1980 = 1260 + 36x + 35x + x²
פתיחת סוגריים.
x² + 71x - 720 = 0
העברת אגפים וכינוס איברים למשוואה ריבועית.
x1,2 = -71 ± √(71² - 4 · 1 · (-720))2 = -71 ± 892
נוסחת השורשים.

הפתרונות הם x = 9 או x = -80. מכיוון שמספר מטבעות אינו יכול להיות שלילי, התשובה היא 9.

תוצאת הסעיף: הוסיפו x = 9 מטבעות.

ד השוואת ההסתברויות

נוסח הסעיף: האם ההסתברות להוציא באקראי (ללא החזרה) שני מטבעות זהים גדלה לאחר ההוספה, קטנה או נשארה ללא שינוי?

הרעיון: נחשב את ההסתברות החדשה לשני מטבעות זהים עם הכמות המעודכנת (כאשר כמות ה-10 ש"ח גדלה), ונשווה לתוצאה מסעיף א'.

כדי לקבוע נצטרך לחשב את ההסתברות למטבעות זהים לאחר ההוספה ולהשוות לתוצאה מסעיף א' (13/35 ≈ 0.371).
לאחר ההוספה של 9 מטבעות, בקופה יש בסך הכל 45 מטבעות. מספר המטבעות של 10 ש"ח עלה מ-6 ל-15.

P(2, 2) = 1845 · 1744 = 153990
זהים 2 ש"ח (כמותם לא השתנתה אך סך המטבעות גדל).
P(5, 5) = 1245 · 1144 = 66990
זהים 5 ש"ח (זה שווה ל-1/15 לפי הנתון).
P(10, 10) = 1545 · 1444 = 105990
זהים 10 ש"ח (כעת יש 15 מטבעות כאלה).
P(זהים חדש) = 153 + 66 + 105990 = 324990 = 1855 ≈ 0.327
סך ההסתברות לאחר ההוספה.

לפני ההוספה ההסתברות הייתה 13/35 ≈ 0.371, ואחריה היא 18/55 ≈ 0.327. לכן ההסתברות קטנה.

תוצאת הסעיף: ההסתברות קטנה.

תשובה סופית

  1. א. 1335.
  2. ב. 926.
  3. ג. x = 9.
  4. ד. קטנה (מ-13/35 ל-18/55).

המשך במבחן

חורף תשפ"ג 2023, מועד א' (35471) · שאלה 3

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 4 - גאומטריה אוקלידית