שיעור תאוריה

חקירת פונקציית שורש

השלבים הייחודיים בחקירת פונקציה עם שורש, בדגש על תחום ההגדרה, נקודות קיצון בקצה התחום, וגזירה של שורש.

איך מזהים שהנושא מתאים

אינטואיציה: למה שורש הוא שונה?

לשורש ריבועי יש מגבלה עקרונית: אי אפשר להוציא שורש ממספר שלילי (במספרים ממשיים). לכן, בניגוד לפולינום שמוגדר לכל x, לפונקציית שורש יש בדרך כלל גבולות — "קירות" שמעבר אליהם הפונקציה פשוט לא קיימת. הנקודות שבהן הפונקציה מתחילה או נגמרת הופכות לנקודות מיוחדות מסוג "קיצון קצה".

דוגמה מעובדת — חקירת פונקציית שורש

שאלה: מצאו נקודות קיצון לפונקציה f(x) = x√4 - x.

1. תחום הגדרה וקצה: דורשים 4 - x ≥ 0 ⇒ x ≤ 4. נקודת הקצה היא ב-x = 4, ושם f(4) = 0.

2. נגזרת פונקציית מכפלה עם שורש:

f'(x) = 1 · √4 - x + x · -12√4 - x
נגזרת מכפלה. נגזרת השורש הפנימית היא -1.
f'(x) = 2(4 - x) - x2√4 - x = 8 - 3x2√4 - x
מכנה משותף — כפלנו את האיבר הראשון ב-2 ושורש.

3. מציאת קיצון פנימי: משווים רק מונה לאפס:

8 - 3x = 0 ⇒ x = 83
נקודה בתוך תחום ההגדרה.

לאחר בדיקה בטבלה, מגלים כי ב-x = 83 יש מקסימום מוחלט, וקצה התחום (4, 0) הוא מינימום קצה.

שלבי החקירה

שלב מה מחשבים? איך מבצעים?
תחום הגדרה מציאת ה-x המותרים דורשים: ביטוי בתוך השורש ≥ 0
נקודות קצה הגבול של תחום ההגדרה ה-x שמאפס את הביטוי בתוך השורש עשוי להיות קצה תחום. מציבים אותו בפונקציה ובודקים את ההתנהגות מן הצד שבו הפונקציה מוגדרת; רק אז מסווגים קיצון קצה.
נקודות חיתוך מפגש עם הצירים חיתוך עם x (y=0), חיתוך עם y (x=0). לא לשכוח לוודא שנקודות החיתוך נמצאות בתחום ההגדרה!
נגזרת גזירת הפונקציה כלל השרשר: (√x)' = 12√x
כלל השרשר עם כלל השרשרת: (√f(x))' = f'(x)2√f(x)
הנוסחאה הפנימית (f'(x)) מופיעה במונה!
נקודות קיצון פנימיות קיצון בתוך התחום משווים נגזרת לאפס, ומוצאים x. מציבים בטבלת סימנים יחד עם נקודות הקצה.

טבלת סימנים ונקודות קצה

  1. שרטטו טבלה. הציבו בה את נקודות הקצה ואת ה-x שאיפסו את הנגזרת.
  2. חסמו את האזור שבו הפונקציה אינה מוגדרת (למשל בעזרת קווים מלוכסנים), שם לא מחשבים כלום.
  3. בחרו מספר ביניים, הציבו בנגזרת ובדקו סימן (+ לעלייה, - לירידה).
  4. סיווג הקצה: אם ליד קצה שמאלי יש ירידה, הקצה הוא מקסימום. אם יש עלייה, הקצה הוא מינימום. סיווג הפוך חל על קצה ימני.

הערות מוכנות למבחן