שיעור תאוריה

קשר בין פונקציה לנגזרת מתוך גרף

איך "קוראים" תכונות של פונקציה מתוך סקיצה של פונקציית הנגזרת שלה — עלייה, ירידה, קיצון, ונקודות פיתול.

איך מזהים שהנושא מתאים

נתון גרף של f'(x) ומבקשים לקרוא ממנו מידע על f(x): תחומי עלייה/ירידה, נקודות קיצון, נקודות פיתול, בחירת גרף של f, חישוב שטחים, או הזזת גרף.

אינטואיציה

הנגזרת היא מד השיפוע: ערך חיובי = הפונקציה מטפסת, ערך שלילי = הפונקציה יורדת, ערך אפס = רגע אופקי. רגע אופקי הוא נקודת קיצון רק אם הנגזרת מחליפה סימן (לא רק נוגעת באפס).

דוגמה מעובדת — קריאה מגרף נגזרת

שאלה: בגרף הנגזרת f'(x) הנתון, הגרף נמצא מעל ציר ה-x עבור x < 2, חותך את ציר ה-x ב-x = 2 ויורד מתחתיו עד לנקודת מינימום ב-x = 5, לאחר מכן עולה וחותך שוב את הציר ב-x = 8 ונמצא מעליו. מהן נקודות הקיצון של f(x)?

1. מציאת הנקודות החשודות (אפסי נגזרת): הגרף חותך את ציר ה-x ב-x = 2 וב-x = 8. רק בנקודות אלו ייתכן קיצון.

2. סיווג ב-x = 2: הנגזרת עוברת מחיובי (מעל הציר) לשלילי (מתחת לציר). לכן הפונקציה המקורית עוברת מעלייה לירידה — זוהי נקודת מקסימום.

3. סיווג ב-x = 8: הנגזרת עוברת משלילי לחיובי. הפונקציה המקורית עוברת מירידה לעלייה — זוהי נקודת מינימום.

הערה: ב-x = 5 לנגזרת יש מינימום — משמעות הדבר היא שלפונקציה המקורית יש שם נקודת פיתול, לא קיצון!

טבלת מעבר: מגרף f'(x) לתכונות f(x)

מה רואים ב-f'(x)מה מסיקים על f(x)
גרף f'(x) מעל ציר x (f' > 0)f(x) עולה בתחום זה.
גרף f'(x) מתחת לציר x (f' < 0)f(x) יורדת בתחום זה.
f'(x₀) = 0 ומחליפה סימן מ-(−) ל-(+)f(x₀) היא נקודת מינימום מקומי (f עוברת מירידה לעלייה).
f'(x₀) = 0 ומחליפה סימן מ-(+) ל-(−)f(x₀) היא נקודת מקסימום מקומי (f עוברת מעלייה לירידה).
f'(x₀) = 0 ללא החלפת סימן ("נגיעה בציר")x₀ אינה נקודת קיצון! ייתכן שהיא נקודת פיתול.
גרף f'(x) חותך את ציר ה-x (עובר מלמטה למעלה)כאשר f'(x) משנה סימן משלילי לחיובי, f(x) עוברת מירידה לעלייה ולכן מתקבל מינימום.

נקודות פיתול (נקודות כיפוף)

נקודה שבה שיפוע הפונקציה עצמה מגיע למקסימום או מינימום — כלומר, נקודה שבה f''(x) = 0 ו-f'' מחליפה סימן. מגרף f'(x): נקודת פיתול של f מופיעה כאשר גרף f' עצמו מגיע לנקודת קיצון (מינימום/מקסימום של f').

שיטת פתרון ושטחים

לעתים שואלים על השטח הכלוא בין גרף f'(x) לבין ציר ה-x. שטח זה קשור ישירות להפרש ערכי הפונקציה המקורית:

∫ba f'(x) dx = f(b) − f(a)

אם השטח מתחת לציר ה-x, האינטגרל שלילי. לכן השטח הגאומטרי (שתמיד חיובי) יחושב בערך מוחלט:

Sגאומטרי = |f(b) − f(a)|

הערות מוכנות למבחן