1. הוכחת דמיון משולשים במלבן (ז.ז.)
ABCD מלבן. הנקודה E נמצאת על המשך הצלע CB מעבר ל-B, והקטע DE חותך את הצלע AB בנקודה F. הוכיחו כי ΔAFD ∼ ΔBFE.
עצרו כאן ונסו לפתור לבד. חפשו זוויות קודקודיות בנקודת החיתוך F, וזוויות מתחלפות מתוך הצלעות המקבילות AD ו-BE.
| # | טענה | נימוק |
|---|
| 1 | ∠AFD = ∠BFE | זוויות קודקודיות — הישרים AB ו-DE נחתכים בנקודה F (צורת X). |
| 2 | AD ∥ BE | AD ∥ BC (תכונת מלבן — צלעות נגדיות מקבילות), ו-BE נמצא על המשך הישר BC — לכן AD ∥ BE. |
| 3 | ∠ADF = ∠BEF | זוויות מתחלפות — ישרים מקבילים AD ∥ BE נחתכים ע"י הישר DE (צורת Z). |
| 4 | ΔAFD ∼ ΔBFE | דמיון ז.ז. — שתי זוויות שוות בהתאמה: ∠AFD = ∠BFE (שורה 1) ו-∠ADF = ∠BEF (שורה 3). |
תוצאה: ΔAFD ∼ ΔBFE — הוכח לפי קריטריון ז.ז.
2. מיחס שטחים ליחס אורכים
באותו מלבן ABCD (הנקודה E על המשך CB מעבר ל-B, הקטע DE חותך את AB ב-F), נתון כי ΔAFD ∼ ΔBFE, ושטח המשולש AFD גדול פי 9 משטח המשולש BFE. מצאו את היחס AF/FB.
עצרו כאן ונסו לפתור לבד. זכרו: יחס השטחים במשולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון (יחס האורכים המתאימים).
מדובר במשולשים דומים, ולכן יחס השטחים ביניהם שווה לריבוע יחס הדמיון:
תוצאה: AF/FB = 3.
3. צלעות מלבן ורדיוס מעגל חוסם
באותו מלבן, נתון: EB=8, שטח המלבן ABCD הוא 768, ויחס הדמיון בין ΔAFD ל-ΔBFE (מהתרגיל הקודם) הוא 3. (1) מצאו את אורך הצלע CB. (2) מצאו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש DCE.
עצרו כאן ונסו לפתור לבד. השתמשו ביחס הדמיון כדי למצוא את AD, ואז בשטח המלבן כדי למצוא את הצלע השנייה. זכרו: זווית היקפית ישרה נשענת תמיד על קוטר.
נשתמש ביחס הדמיון k=3 בין ΔAFD ל-ΔBFE, בתכונות המלבן, ולבסוף במשפט פיתגורס כדי למצוא את קוטר המעגל החוסם:
| # | טענה | נימוק |
|---|
| 1 | AD = 24 | יחס הדמיון הוא 3, ולכן AD/BE = 3. מתוך הנתון BE=8 נקבל ש-AD=24. |
| 2 | CB = 24 | במלבן צלעות נגדיות שוות. |
| 3 | AB = 32 ⇒ DC = 32 | שטח מלבן שווה למכפלת צלעות סמוכות: AB = 768/24 = 32. במלבן צלעות נגדיות שוות, לכן גם DC=32. |
| 4 | CE = 32 | E נמצאת על המשך CB — חיבור קטעים: CE = CB + BE = 24 + 8. |
| 5 | ∠DCE = 90° | תכונת מלבן. זווית צמודה לזווית ישרה היא גם ישרה. |
| 6 | DE = 32√2 | משפט פיתגורס ב-ΔDCE: DE = √(32² + 32²). |
| 7 | R = 16√2 | מיתר עליו נשענת זווית היקפית ישרה הוא קוטר במעגל. לכן הרדיוס הוא חצי מאורך היתר DE. |
תוצאה: (1) CB = 24. (2) R = 16√2.
4. דמיון עם משתנה עזר במערכת צירים
במשולש ABC ישר זווית (∠ABC = 90°), הקודקוד B מונח על ציר ה-x והקודקוד A מונח על ציר ה-y. מהקודקוד C הורידו אנך לציר ה-x, החותך אותו בנקודה D. O היא ראשית הצירים. הוכיחו כי ΔAOB ∼ ΔBDC.
עצרו כאן ונסו לפתור לבד. סמנו זווית אחת ב-α, והשתמשו בזווית שטוחה על ציר ה-x ובסכום זוויות במשולש כדי לבטא זווית שנייה גם היא באמצעות α.
| # | טענה | נימוק |
|---|
| 1 | ∠AOB = 90° | ציר ה-y וציר ה-x מאונכים זה לזה בראשית הצירים O. |
| 2 | ∠BDC = 90° | נתון: CD הוא אנך לציר ה-x. |
| 3 | ∠AOB = ∠BDC | שתיהן 90° (שורות 1 ו-2). |
| 4 | נסמן ∠ABO = α | הגדרת משתנה עזר. |
| 5 | ∠CBD = 90° − α | O, B, D כולם על ציר ה-x → ∠OBD = 180° (זווית שטוחה). ∠ABC = 90° (נתון). לכן ∠CBD = 180° − 90° − α = 90° − α. |
| 6 | ∠BCD = α | סכום זוויות ב-ΔBDC = 180°: ∠BCD = 180° − 90° − (90° − α) = α. |
| 7 | ∠ABO = ∠BCD = α | שורות 4 ו-6. |
| 8 | ΔAOB ∼ ΔBDC | דמיון ז.ז. — שתי זוויות שוות בהתאמה: ∠AOB = ∠BDC (שורה 3) ו-∠ABO = ∠BCD (שורה 7). |
תוצאה: ΔAOB ∼ ΔBDC — הוכח לפי קריטריון ז.ז.