שיעור תאוריה
התפלגות נורמלית (פעמון גאוס)
עבודה עם ממוצע, סטיית תקן, ציון התקן Z וטבלת ההתפלגות הנורמלית.
איך מזהים שהנושא מתאים
- השאלה תציין בפירוש שהנתונים "מתפלגים נורמלית".
- יופיעו המושגים ממוצע (μ), סטיית תקן (σ) ואחוזים של האוכלוסייה (למשל, "הציון שמעליו נמצאים 10% מהתלמידים").
אינטואיציה: למה פעמון?
התפלגות נורמלית מתארת תופעות טבעיות רבות שבהן רוב האוכלוסייה מתרכזת סביב הממוצע, וככל שמתרחקים ממנו, יש פחות ופחות אנשים. הפעמון סימטרי לחלוטין — לכן הממוצע שווה בדיוק לחציון: 50% מהאוכלוסייה נמצאים מעליו ו-50% מתחתיו.
ציון התקן (Z) וטבלת ההתפלגות
כדי לא לצייר פעמון שונה לכל שאלה, "מתקננים" כל נתון ומעבירים אותו לעולם של התפלגות נורמלית סטנדרטית (ממוצע = 0, סטיית תקן = 1).
נוסחת ציון התקן
Z = X − μσ
כאשר: X = הנתון הבודד, μ (מיו) = ממוצע האוכלוסייה, σ (סיגמא) = סטיית תקן האוכלוסייה.
הערת סימונים — חשוב!
בבגרות משתמשים ב-μ לממוצע ו-σ לסטיית תקן (לא x̄ ו-S שהם סימונים לסטטיסטיקה של מדגם). ודאו שהנוסחה שאתם כותבים תואמת את הסימון בטבלת Z שמצורפת למבחן.
| שלב | תיאור | נוסחה / הסבר |
|---|---|---|
| מעבר לציון תקן (Z) | כמה סטיות תקן הנתון רחוק מהממוצע? | Z = X − μσ |
| שימוש בטבלה | מציאת השטח (אחוז) משמאל ל-Z | מחפשים את ה-Z בטבלה. הערך שמתקבל (בין 0 ל-1) הוא P(X≤x) — שיעור האוכלוסייה מתחת לציון. |
| שטח מימין | "גדול מ-..." או "מעל ל-..." | P(X > x) = 1 − P(X ≤ x) |
| Z שלילי | ערך מתחת לממוצע | אם הנתון קטן מהממוצע — ה-Z שלילי. מכיוון שהטבלה מכילה רק Z ≥ 0, משתמשים בסימטריה: P(Z < −z) = 1 − P(Z < z). מוצאים Z עבור השטח המשלים ומוסיפים מינוס. |
| מציאת X מ-Z | הפיכת הנוסחה (שאלות "הפוכות") | X = μ + Z · σ |
שיטת פתרון
- שרטטו פעמון: סמנו את הממוצע באמצע. סמנו את הנקודה הנתונה והצבעו על השטח שאתם מחפשים — שמאל (מתחת) או ימין (מעל).
- קבעו מה מחפשים: שטח משמאל נקרא ישירות מהטבלה. עבור שטח מימין מחסרים את ערך הטבלה מ-1.
- המירו X ל-Z: חשבו Z = (X − μ) / σ.
- קראו את הטבלה: מצאו את שורת ה-Z ואת העמודה לפי הספרה השנייה אחרי הנקודה.
- הכפילו בגודל האוכלוסייה רק בסוף: הטבלה נותנת שיעור (בין 0 ל-1), לא מספר מוחלט. אם שואלים "כמה תלמידים", כפלו בסוף בגודל הכיתה.
הערות מוכנות למבחן
- תמיד שרטטו פעמון: גם בשאלות שנראות פשוטות — שרטטו פעמון, סמנו μ, וצבעו את השטח המבוקש. זה מונע התבלבות בין "גדול מ-" ל-"קטן מ-".
- הטבלה נותנת P(X≤x): כלומר שטח משמאל. עבור "מעל" יש לחסר את הערך מ-1.
- שאלות "הפוכות": בהן נתון אחוז ומחפשים X — מצאו קודם את Z מהטבלה, ואז הציבו בנוסחה ההפוכה X = μ + Z · σ.
- Z שלילי: אין עמודה ל-Z שלילי בטבלה! משתמשים בסימטריה: P(Z < −z) = 1 − P(Z < z).