דף תרגול

משפטי הסינוסים והקוסינוסים — תרגול מדורג

שלושה תרגילים מדורגים על שטח משולש שווה-שוקיים, משפט הסינוסים המורחב עם מעגל חוסם, ומשפט הקוסינוסים — מבוססים על נתוני שאלת בגרות אמיתית.

שיעורי תאוריה רלוונטיים

תרגילים — משטח משולש שווה-שוקיים ועד משפט הקוסינוסים

1. שטח משולש שווה-שוקיים ומציאת הבסיס

במשולש שווה שוקיים ABC (כאשר BC=BA), שטח המשולש הוא 114 ו-∠ABC=50°. (1) מצאו את אורך השוק AB. (2) מצאו את אורך הבסיס AC.

עצרו כאן ונסו לפתור לבד. לסעיף (1) השתמשו בנוסחת שטח משולש עם שתי צלעות והזווית הכלואה ביניהן — השוקיים שוות, כך שהנוסחה תלויה רק ב-AB². לסעיף (2) חשבו על הגובה מקודקוד B: הוא חוצה גם את הזווית וגם את הבסיס לשני משולשים ישרי זווית זהים.

חלק (1): בנוסחת שטח משולש עם שתי צלעות והזווית הכלואה, השוקיים שוות (AB=BC), ולכן מופיע AB²:

114=AB · BC · sin 50°2=AB² · sin 50°2
נוסחת שטח לפי שתי צלעות והזווית הכלואה; AB=BC.
AB=√(228sin 50°) ≈ 17.25
בחירת השורש החיובי כי מדובר באורך.

חלק (2): הגובה מהקודקוד B במשולש שווה-שוקיים חוצה את הבסיס ואת זווית הראש, ומפצל את המשולש לשני משולשים ישרי זווית חופפים עם זווית 25° (חצי מ-50°):

AC=2 · AB · sin 25° ≈ 2 · 17.252 · sin 25° ≈ 14.58
בכל אחד משני המשולשים ישרי הזווית מתקבל חצי הבסיס.

תוצאה: (1) AB ≈ 17.25. (2) AC ≈ 14.58.

2. מעגל חוסם ומשפט הסינוסים המורחב

משולש ADC שכל זוויותיו חדות, שבו AC ≈ 14.58, חסום במעגל שרדיוסו 8. (1) מצאו את ∠ADC. נתון גם AD=15. (2) מצאו את ∠CAD.

עצרו כאן ונסו לפתור לבד. השתמשו במשפט הסינוסים המורחב asin A = 2R על כל צלע בנפרד מול הזווית שמולה, וזכרו שכל זוויות המשולש חדות — כלומר בכל פעם בוחרים את הפתרון החד של הפונקציה ההפוכה. לסעיף (2) סכמו את שתי הזוויות הידועות וחסרו מ-180°.

חלק (1): במשפט הסינוסים המורחב, 2R=16 (רדיוס 8), והצלע AC נמצאת מול הזווית ∠ADC:

sin(∠ADC)=AC 16=14.58216 ⇒ ∠ADC ≈ 65.70°
נבחר הפתרון החד בהתאם לנתון שכל זוויות ADC חדות.

חלק (2): באותו אופן, הצלע AD נמצאת מול הזווית ∠ACD:

sin(∠ACD)=AD 16=1516 ⇒ ∠ACD ≈ 69.64°
גם כאן בוחרים זווית חדה.
∠CAD=180°-65.70°-69.64° ≈ 44.67°
סכום הזוויות במשולש ADC שווה ל-180°.

תוצאה: (1) ∠ADC ≈ 65.70°. (2) ∠CAD ≈ 44.67°.

3. משפט הקוסינוסים עם זווית מורכבת

נתון AB ≈ 17.25 ו-AD=15 (משני התרגילים הקודמים). זוויות הבסיס במשולש השווה-שוקיים ABC הן 65° כל אחת (180°-50°2), והזווית ∠CAD ≈ 44.67° (מהתרגיל הקודם), כאשר B ו-D נמצאים משני עברי AC. מצאו את BD.

עצרו כאן ונסו לפתור לבד. חשבו קודם את הזווית ∠BAD כסכום זווית הבסיס ∠BAC=65° וזווית ∠CAD (כיוון ש-B ו-D נמצאים משני עברי AC), ואז הפעילו את משפט הקוסינוסים במשולש ABD עם הצלעות AB, AD והזווית הכלואה ∠BAD ביניהן.

מחברים את שתי הזוויות הידועות ל-∠BAD, ואז מפעילים את משפט הקוסינוסים במשולש ABD:

∠BAD=65°+44.67°=109.67°
B ו-D נמצאים משני עברי AC בסרטוט, ולכן הזוויות מצטרפות.
BD²=AB²+AD²-2 · AB · AD · cos(∠BAD)
משפט הקוסינוסים במשולש ABD, עם הזווית הכלואה בין הצלעות AB ו-AD.
BD ≈ √(17.252²+15²-2 · 17.252 · 15 · cos 109.67°) ≈ 26.40
הצבה וחישוב.

תוצאה: BD ≈ 26.40.