שאלה 2: נקודות יציבות וקמירות

א נקודות יציבות וסיווגן

נוסח הסעיף: עבור הפונקציה f(x)=9x⁵-15x³+160, מצאו נקודות יציבות וקבעו אם הן נקודות מינימום, מקסימום מקומי או גלובלי, או נקודות פיתול.

הרעיון: נקודה יציבה מתקבלת כאשר f′(x)=0. לאחר שמוצאים את כל המועמדות, בודקים אם הנגזרת מחליפה סימן ומבררים אם בכלל ייתכן קיצון גלובלי.

נגזור ונפרק לגורמים:

ב-x=-1 הסימן משתנה מחיובי לשלילי, ולכן זו נקודת מקסימום מקומי. ב-x=1 הסימן משתנה משלילי לחיובי, ולכן זו נקודת מינימום מקומי. ב-x=0 אין שינוי בסימן הנגזרת, ולכן אין קיצון.

נחשב את הנגזרת השנייה והשלישית כדי לסווג את הנקודה היציבה x=0:

הנגזרת הראשונה שאינה מתאפסת אחרי f′ היא מסדר אי־זוגי, ולכן x=0 היא נקודת פיתול יציבה.

אין מקסימום או מינימום גלובלי על כל הישר, משום שהאיבר המוביל הוא 9x⁵:

לשלמות: למשוואה f″(x)=0 יש גם פתרונות x=±1/√2. אלה נקודות פיתול נוספות, אך אינן נקודות יציבות משום ש-f′(±1/√2)≠0.

תוצאת הסעיף: (-1,166) מקסימום מקומי, (0,160) נקודת פיתול יציבה, ו-(1,154) מינימום מקומי. אין קיצון גלובלי.

ב סכום של פונקציות קמורות

נוסח הסעיף: נתון שהפונקציות f ו-g קמורות על הקבוצה הקמורה C. הוכיחו לפי הגדרת הקמירות כי t(x)=f(x)+g(x) קמורה על C.

הרעיון: מפעילים את הגדרת הקמירות פעם אחת על f ופעם אחת על g, ואז מחברים את שני אי־השוויונות. חיבור אינו משנה את כיוון אי־השוויון.

נבחר נקודות שרירותיות x₁,x₂∈C ומשקל שרירותי λ∈[0,1]. מכיוון ש-C קמורה, גם λx₁+(1-λ)x₂∈C, ולכן מותר להפעיל שם את שתי הנחות הקמירות:

נחבר אגף שמאל לאגף שמאל ואגף ימין לאגף ימין:

קיבלנו את אי־שוויון הקמירות עבור נקודות ומשקל שרירותיים, ולכן הוא מתקיים בכל המקרים הנדרשים בהגדרה.

תוצאת הסעיף: t=f+g קמורה על C.

ג תנאים לקמירות פונקציה ריבועית

נוסח הסעיף: מצאו תנאים על a,b,c,d כך שהפונקציה f(x₁,x₂)=ax₁²+bx₁+cx₂+dx₂²+ad-bc תהיה קמורה.

הרעיון: איברים ליניאריים וקבועים אינם תורמים לנגזרות השניות. לכן הקמירות נקבעת רק על ידי המקדמים של x₁² ושל x₂².

הגרדיאנט הוא:

נגזור שוב ונקבל הסיאן קבועה:

מטריצה אלכסונית היא חיובית למחצה אם ורק אם כל איברי האלכסון שלה אינם שליליים. לכן:

המקדמים b ו-c יכולים להיות כל מספר ממשי: האיברים bx₁ ו-cx₂ ליניאריים, והאיבר ad-bc קבוע ביחס ל-x₁,x₂. אם דורשים קמירות ממש, ולא רק קמירות, צריך a>0 ו-d>0.

תוצאת הסעיף: הפונקציה קמורה על ℝ² אם ורק אם a≥0 ו-d≥0; אין הגבלה על b,c.