בחינת סוף סמסטר, פברואר 2026 · שיעור פתרון

שאלה 1: ייצור פחם, פלט LINDO וניתוח רגישות

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

חברה מייצרת פחם מחומר גלם המגיע מארבעה מכרות. חומר הגלם עובר זיקוק ומפיק "טרום פחם", ולאחר מכן עובר ניקוי ומפיק פחם. לרשות החברה 4,000 שעות זיקוק ו-1,550 שעות ניקוי בחודש. אפשר לקנות שעות ניקוי נוספות בעלות 6 ש"ח לשעה. מחיר המכירה הוא 20 ש"ח לק"ג פחם, ויש לייצר לפחות 600 ק"ג בחודש.

מכרה	עלות לק"ג חומר גלם	שעות זיקוק לק"ג	ק"ג טרום פחם לק"ג חומר גלם	מגבלת רכישה
A	8	3	0.75	לכל היותר 380
B	4	2	0.40	לכל היותר 1,000
C	10	4	0.60	לפחות 200
D	12	2	0.70	ללא הגבלה

כל ק"ג טרום פחם דורש שתי שעות ניקוי ומפיק ק"ג אחד של פחם. המודל הנתון הוא:

max Z = -8x₁ - 4x₂ - 10x₃ - 12x₄ + 20Y - 6T 3x₁ + 2x₂ + 4x₃ + 2x₄ ≤ 4000 2Y - T ≤ 1550 x₁ ≤ 380, x₂ ≤ 1000, x₃ ≥ 200 0.75x₁ + 0.4x₂ + 0.6x₃ + 0.7x₄ - Y = 0 Y ≥ 600 x₁,x₂,x₃,x₄,Y,T ≥ 0

פלט LINDO מציג:

משתנה	ערך	עלות מצומצמת
x₁	340	0
x₂	1,000	0
x₃	200	0
x₄	0	4.533333
Y	775	0
T	0	1.333333

ערך המטרה האופטימלי הוא Z*=6780.

אילוץ במודל	שורה בדוח	מרווח או עודף	ערך דואלי	עלייה מותרת	ירידה מותרת
שעות זיקוק	2	180	0	∞	180
שעות ניקוי	3	0	4.666667	60	350
x₁≤380	4	40	0	∞	40
x₂≤1000	5	0	0.266667	450	74.999992
x₃≥200	6	0	-3.6	112.5	50
מאזן טרום פחם	7	0	-10.666667	30	255
Y≥600	8	175	0	175	∞

א. הסבירו את המודל הנתון - פונקציית המטרה, האילוצים והמשתנים - ואת הפתרון האופטימלי המתקבל מהפלט.
ב. החברה גילתה כי לרשותה רק 3,900 שעות זיקוק במקום 4,000. כיצד הדבר ישפיע על הרווח?
ג. בהתעלם מסעיף ב, החברה קיבלה הצעה לרכוש 200 ק"ג נוספים של חומר גלם ממכרה B בעלות הרגילה של 4 ש"ח לק"ג. האם החברה תסכים להצעה? אם כן, מצאו את הגידול הצפוי ברווח החברה.
ד. בהתעלם מסעיפים ב-ג, על אף הפתרון האופטימלי החברה החליטה בכל זאת לרכוש שעת ניקוי אחת נוספת בעלות של 6 ש"ח. כיצד הדבר ישפיע על הרווח?

זיהוי השיטה

בסעיף א מתרגמים כל משתנה וכל אילוץ בחזרה לתהליך הייצור. בסעיפים ב-ג משנים אגף ימין אחד ולכן בודקים תחילה את תחום התקפות ורק אחר כך משתמשים בערך הדואלי. בסעיף ד מכריחים משתנה רכישה לא בסיסי להיכנס, ולכן אפשר לקרוא את הפגיעה השולית מן העלות המצומצמת וגם לאמת אותה ישירות.

1. משמעותמשתנים, תהליך ומגבלות
2. רגישותטווח אגף ימין וערך דואלי
3. אימותפתרון חדש וחישוב רווח

פתרון מודרך

א משמעות המודל והפתרון

נוסח הסעיף: הסבירו את המודל הנתון - פונקציית המטרה, האילוצים והמשתנים - ואת הפתרון האופטימלי המתקבל מהפלט.

הרעיון: לכל מקדם מצמידים יחידה ותפקיד בתהליך. לאחר מכן מציבים את פתרון LINDO כדי לוודא שהוא מקיים את המאזנים ואת המגבלות.

x₁,x₂,x₃,x₄: מספר קילוגרמי חומר הגלם שנרכשים בחודש מהמכרות A, B, C ו-D, בהתאמה.
Y: מספר קילוגרמי טרום הפחם שנכנסים לניקוי, ושווה גם לכמות הפחם המוגמרת.
T: מספר שעות הניקוי הנוספות שנרכשות בחודש.
Z: הרווח החודשי: הכנסות ממכירת פחם פחות עלות חומרי הגלם ופחות עלות שעות הניקוי הנוספות.

ביטוי	משמעות
3x₁+2x₂+4x₃+2x₄≤4000	כל ק"ג חומר גלם צורך שעות זיקוק לפי המכרה, וסך השעות אינו עולה על 4,000.
2Y-T≤1550	כל ק"ג פחם צורך שתי שעות ניקוי. כל שעה שנרכשת ב-T מוסיפה שעה לקיבולת ולכן מופיעה בחיסור באגף שמאל.
x₁≤380, x₂≤1000, x₃≥200	מגבלות הרכישה מן המכרות A-C.
0.75x₁+0.4x₂+0.6x₃+0.7x₄=Y	מאזן החומר: תפוקת טרום הפחם מכל המכרות שווה לכמות שנכנסת לניקוי.
Y≥600	דרישת הייצור החודשית המינימלית.

נבדוק את הפתרון (340,1000,200,0,775,0):

שעות זיקוק = 3·340 + 2·1000 + 4·200 = 3820 ≤ 4000 שעות ניקוי = 2·775 - 0 = 1550 תפוקת טרום פחם = 0.75·340 + 0.4·1000 + 0.6·200 = 775 Z = -8·340 - 4·1000 - 10·200 + 20·775 = 6780

תוצאת הסעיף: קונים 340 ק"ג מ-A, 1,000 מ-B ו-200 מ-C, לא קונים מ-D ולא קונים שעות ניקוי. מייצרים 775 ק"ג פחם ומרוויחים 6,780 ש"ח.

ב ירידה ל-3,900 שעות זיקוק

נוסח הסעיף: החברה גילתה כי לרשותה רק 3,900 שעות זיקוק במקום 4,000. כיצד הדבר ישפיע על הרווח?

הרעיון: אילוץ הזיקוק אינו פעיל: נשארו בו 180 שעות. בודקים שהירידה של 100 שעות קטנה מן הירידה המותרת.

Δb = 3900 - 4000 = -100 |Δb| = 100 ≤ AD = 180 ΔZ* = DV · Δb = 0 · (-100) = 0

הפתרון הישן צורך 3,820 שעות בלבד, ולכן גם לאחר הקטנת הקיבולת ל-3,900 הוא נשאר אפשרי ונשארות 80 שעות פנויות.

תוצאת הסעיף: הרווח אינו משתנה ונשאר 6,780 ש"ח; גם כמויות הייצור נשארות ללא שינוי.

ג רכישת 200 ק"ג נוספים ממכרה B

נוסח הסעיף: בהתעלם מסעיף ב, החברה קיבלה הצעה לרכוש 200 ק"ג נוספים של חומר גלם ממכרה B בעלות הרגילה של 4 ש"ח לק"ג. האם החברה תסכים להצעה? אם כן, מצאו את הגידול הצפוי ברווח החברה.

הרעיון: מגדילים את אגף ימין של x₂≤1000. מחיר 4 ש"ח כבר מופיע במקדם -4x₂, ולכן הערך הדואלי בדוח הוא השיפור נטו לאחר תשלום המחיר ואין להפחית אותו פעם נוספת.

העלייה המותרת היא 450 ק"ג, ולכן כל ההצעה נמצאת בתחום:

200 ≤ 450 ΔZ* = 0.266667 · 200 = 53.3334 Z*ₙₑw = 6780 + 53.3334 = 6833.3334

אפשר לאמת את מבנה הפתרון החדש. קיבולת הניקוי נשארת פעילה, ולכן Y=775. מציבים x₂=1200, x₃=200 ו-x₄=0 במאזן החומר:

0.75x₁ + 0.4·1200 + 0.6·200 = 775 0.75x₁ + 600 = 775 x₁ = 700/3 = 233⅓

הפתרון צורך בדיוק 3,900 שעות זיקוק, ולכן הוא אפשרי גם במודל המקורי שבו יש 4,000 שעות.

תוצאת הסעיף: כדאי לקבל את כל 200 הק"ג. הרווח המרבי גדל ב-53⅓ ש"ח ומגיע ל-6,833⅓ ש"ח.

ד קנייה כפויה של שעת ניקוי

נוסח הסעיף: בהתעלם מסעיפים ב-ג, על אף הפתרון האופטימלי החברה החליטה בכל זאת לרכוש שעת ניקוי אחת נוספת בעלות של 6 ש"ח. כיצד הדבר ישפיע על הרווח?

הרעיון: שעת ניקוי נוספת שווה למערכת 4.666667 ש"ח בלבד, אך עולה 6 ש"ח. לכן הנזק נטו הוא 1.333333 ש"ח, התואם לעלות המצומצמת של T.

שינוי נטו = 4.666667 - 6 = -1.333333 Z*ₙₑw = 6780 - 1.333333 = 6778.666667

אימות ישיר: מכריחים T=1. אילוץ הניקוי הפעיל נותן 2Y-1=1550, ולכן Y=775.5. במאזן החומר, כשהערכים האחרים נשארים בבסיס:

0.75x₁ + 0.4·1000 + 0.6·200 = 775.5 x₁ = 1022/3 = 340⅔

תוספת הפחם מכניסה 10 ש"ח, חומר הגלם הנוסף עולה 8·(2/3)=5⅓ ש"ח, ושעת הניקוי עולה 6 ש"ח. לכן השינוי הכולל הוא 10-5⅓-6=-1⅓.

תוצאת הסעיף: הקנייה הכפויה מקטינה את הרווח ב-1⅓ ש"ח, ל-6,778⅔ ש"ח.

תשובה סופית

א. הפתרון הוא (x₁,x₂,x₃,x₄,Y,T)=(340,1000,200,0,775,0) והרווח 6,780 ש"ח.
ב. ירידה ל-3,900 שעות זיקוק אינה משנה את הפתרון או את הרווח.
ג. כדאי לרכוש את כל 200 הק"ג ממכרה B; הרווח גדל ב-53⅓ ש"ח ל-6,833⅓ ש"ח.
ד. קנייה כפויה של שעת ניקוי מקטינה את הרווח ב-1⅓ ש"ח ל-6,778⅔ ש"ח.

המשך במבחן

בחינת סוף סמסטר, פברואר 2026 · שאלה 1

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 2 - נקודות יציבות וקמירות