מבחן בתורת המימון — מועד א׳ 2026 · שיעור פתרון

שאלה 3: חילוץ ההשקעה מתוך IRR וחישוב NPV

שיעורי תאוריה רלוונטיים

נוסח השאלה

כלכלן בדק כדאיות של השקעה מסוימת שאורך חייה שנתיים. בהשקעה יש תשלום מיידי של סכום מסוים, וצפויים להתקבל 440 אלף ש״ח בעוד שנה ו־484 אלף ש״ח בעוד שנתיים. הכלכלן חישב ומצא כי שיעור התשואה הפנימי השנתי של ההשקעה הוא 10%. אם מחיר ההון השנתי הוא 8%, מהו ה־NPV והאם הפרויקט כדאי?

זיהוי השיטה

סכום ההשקעה הראשוני אינו נתון, אך ה־IRR כן נתון. משתמשים תחילה בהגדרת IRR כדי למצוא את ההשקעה שמביאה את NPV לאפס ב־10%, ואז מחשבים מחדש NPV במחיר ההון הרלוונטי של 8%.

פתרון מודרך

מציאת ההשקעה וה־NPV

נוסח הסעיף: אם מחיר ההון השנתי הוא 8%, מהו ה־NPV והאם הפרויקט כדאי?

הרעיון: ה־IRR מאפס את ה־NPV, ולכן הערך הנוכחי של התקבולים ב־10% שווה בדיוק להשקעה הראשונית.

נסמן I₀ את ההשקעה המשולמת במועד אפס. לפי הגדרת ה־IRR:

0 = −I₀ + 440,000/1.10 + 484,000/(1.10)2 I₀ = 400,000 + 400,000 = 800,000

כעת משתמשים במחיר ההון של 8%, משום שזה שיעור ההיוון שמשקף את החלופה הכלכלית של המשקיעים:

NPV = −800,000 + 440,000/1.08 + 484,000/(1.08)2 NPV = 22,359.40

ה־NPV חיובי, ולכן לאחר כיסוי מחיר ההון הפרויקט עדיין מוסיף ערך. אותה מסקנה מתקבלת גם מהשוואת השיעורים: בפרויקט השקעה רגיל IRR=10% > 8%.

תוצאת הסעיף: ה־NPV הוא 22,359.40 ש״ח, ולכן הפרויקט כדאי.

תשובה סופית

ההשקעה הראשונית היא 800,000 ש״ח. במחיר הון של 8% מתקבל NPV=22,359.40 ש״ח, ולכן יש לקבל את הפרויקט.

המשך במבחן

מבחן בתורת המימון — מועד א׳ 2026 · שאלה 3

המשך לפי סדר השאלות במבחן.

לשאלה הבאה: שאלה 4 - תמחור אג״ח ותשואת תקופת החזקה